Даниил пришел в картинг в возрасте восьми лет и, быстро освоив мастерство управления картами, стал демонстрировать отличные результаты.
Началом профессиональной гоночной карьеры можно считать 2005 год, когда Квят впервые принял участие в российских соревнованиях по картингу и даже одержал ряд побед. Спустя год он уже активно выступает в европейских чемпионатах и большую часть времени проводит за границей. Это повлияло на решение родителей о переезде, и в 2006 году Даниил с семьей уезжает в Рим (Италия).
В 2009 году, выступая в классе KF-3, он занял третье место в Чемпионате Европы, второе — в WSK International Series и выиграл Winter Cup.
В 2010 году он был принят в Red Bull Junior Team – программу поддержки молодых пилотов, выступающих в гонках на машинах с открытыми колесами.
Дебют Даниила в новой гоночной серии состоялся в Тихоокеанской Формула-BMW на трассе в Сепанге (Малайзия), но основной серией 2010 года для Даниила стал Европейский чемпионат все той же Формула-BMW.
В 2011 году Квят переходит в новую гоночную серию – Формула-Renault 2.0, и принимает участие сразу в двух ее чемпионатах – Североевропейском и Европейском. Год был насыщен на события и победы, в итоге он стал вице-чемпионом Североевропейского кубка Формула-Renault 2.0 и занял 3-е место в общем зачете чемпионата Европы.
Недавно стало известно, что в сезоне 2012 года Даниил снова будет участвовать в серии Формула- Renault 2.0.
